ما هو عدم اليقين في النماذج الرياضيه

هل تضع حياتك في أيدي نموذج رياضي؟ إذا تذكرت الفشل المالي 2008 ، فقد تكون إجابتك "لا". وألقي باللوم على نطاق واسع في الكارثة على النماذج الرياضية التي تقدم تنبؤات خاطئة.
ومع ذلك ، في الحقيقة ، أنت تعتمد على نماذج رياضية عدة مرات في كل يوم. سواء كانت السيارة التي تقودها للعمل أو الجسر الذي تقطعه على الطريق ، فقد تم تصميم العديد من الأجهزة والهياكل التي تستخدمها باستخدام النماذج الرياضية - وتتضمن عملية التصميم تقييم سلامتها.

يلعب علم تقدير كمية عدم اليقين ، وقياس عدم التيقن المتضمن في تنبؤات النماذج الرياضية ، دورًا مهمًا جدًا في جميع حياتنا ، حتى لو لم نكن على دراية به. ولكن كيف يعمل؟

ما هو النموذج؟

لمعرفة ذلك ، عليك أولاً أن تفهم ما هو النموذج الرياضي. إنه ليس جسمًا ماديًا ولا صيغة جيدة المظهر ، ولكنه يتكون من مجموعة من المعادلات التي تصف عملية (في الغالب طبيعية): تطور الطقس ، على سبيل المثال ، أو تدفق الهواء حول جناح الطائرة. هناك الكثير من الأوصاف للنماذج الرياضية ، ولكن بالنسبة لمثال بسيط للغاية ، فكر في كرة تدحرج على الأرض. بالنسبة لأول تقدير تقريبي ، يتم وصف سلوكه بواسطة قانون نيوتن الثاني للحركة  f = ma : القوة  f  تساوي كتلة الكرة  m في تسارعها  a .

يمكن استخدام مثل هذا النموذج لمحاكاة العملية المعنية وإجراء تنبؤات حولها: طقس الغد ، أو أداء جناح الطائرات الجوالة تحت ظروف مختلفة ، أو سرعة الكرة. وبصرف النظر عن رؤية المستقبل ، تسمح لنا النماذج الرياضية باختبار تصميم منتج ما دون الاضطرار فعليًا إلى بنائه ، أو تحطيمه ، أو تسخينه ، أو أي شيء آخر قد يكون ذا صلة بإمكانية استخدامه وسلامة استخدامه.

تقول كاثرين باول من جامعة مانشيستر ، التي تشارك في تنظيم البرامج ، "في القطاع المالي ، وفي التصنيع ، وفي مجال الطقس والتنبؤات المناخية ، هناك نماذج رياضية موجودة خلف الكواليس ، وتفيد الكثير من الأشياء التي نقوم بها ونأخذها كأمر مسلم به". برنامج حديث حول تقدير كمية عدم اليقين في معهد إسحاق نيوتن في كامبريدج. "من دون النمذجة حياتنا ستكون مختلفة جدا."

نموذج عدم اليقين

الخطوة الأولى في نمذجة عملية حسابية هي كتابة المعادلات التي تعتقد أنها تصف العملية بأفضل شكل. يقول باول: "عادة ما نستخدم كل المعرفة التي لدينا ، بما في ذلك أي بيانات متاحة ، لكتابة تلك المعادلات". "لكن لا يوجد نموذج دقيق ، كل نموذج هو تقريب للعالم الحقيقي. هناك دائما خطأ في الانتقال من الحقيقة إلى نموذج." بقدر ما نشعر بالكرة ، فإن نموذجنا البسيط أعلاه لا يصف الواقع بدقة 100٪ ، على سبيل المثال لأنه يتجاهل تأثير الاحتكاك.
هذا هو أحد مصادر عدم اليقين في النمذجة الرياضية: حتى إذا كنت تبذل قصارى جهدك لتضمين كل ما تعرفه في نموذجك ، فلا يمكنك أبداً التأكد تمامًا من أنه يصف الواقع بدقة. اختيار نموذج غير مناسب ، ثم الخلط بينه وبين الواقع ، هو خطأ شائع في النمذجة. جزئيا ما تسبب في الانهيار المالي في عام 2008.

عدم يقين التقريبي

بمجرد الانتهاء من كتابة المعادلات ، تحتاج إلى حلها من أجل الحصول على توقعاتك. إن حل نموذجنا البسيط لحركة الكرة يحدق في وجهك مباشرة:  a = f / m . يخبرك هذا عن كيفية تسارع الكرة مع الكتلة  m كرد فعل لقوة  f  (تجاهل الاحتكاك). بشكل عام ، على الرغم من ذلك ، الأمور ليست بهذه السهولة. "معظم نماذج الحالات المعقدة ، مثل نمذجة الطقس أو تغير المناخ ، كلها معقدة ولا يمكن حلها باليد" ، يشرح باول. "لذلك نحن بحاجة إلى محاولة وفهم ما إذا كان بإمكاننا تقريب الحلول باستخدام الخوارزميات ، والتي تسمى أيضًا الطرق الرقمية".

هذا هو المصدر الثاني لعدم اليقين في النمذجة الرياضية: أي تقريب ، بحكم التعريف ، يأتي مع خطأ. يقول باول ، وهو محلل عددي: «هذا هو مجال التحليل العددي. "محاولة تقديم عبارات حول الأخطاء المرتبطة بالخوارزميات الرقمية دون أن تعرف بالضرورة ما هو الحل الحقيقي لمشكلتك."

عدم اليقين في المدخلات

لقد تجاهلنا حتى الآن مسألة المدخلات الصغيرة في النموذج. للتنبؤ بحركة الكرة في مثالنا ، تحتاج إلى معرفة قوة اللفة الأولية وكتلة الكرة. عندما يتعلق الأمر بالطقس ، للتنبؤ بما سيحدث غدا ، فأنت بحاجة إلى معرفة الظروف الأولية الحالية: درجة الحرارة والضغط ، على سبيل المثال. إذا كان نموذجك يصف عملية تتغير على المساحة ، مثل تغيير درجة الحرارة داخل الحاوية ، فقد تحتاج أيضًا إلى شروط حدودية: درجة حرارة الحاوية نفسها.
في العديد من الحالات الواقعية ، من الصعب الحصول على قيم مدخلات النموذج. يقول باول: "في المشكلات الهندسية ، على سبيل المثال ، غالباً ما لا نعرف ماهية كل المدخلات". "قد يكون لدينا بعض القياسات التي تعطينا تخمينات مستنيرة ، ولكن سيكون هناك عادة شك حولها." على سبيل المثال ، في نمذجة تدفق المياه الجوفية في موقع جيولوجي معين ، فإن معلمة إدخال مهمة هي نفاذية الصخور عند كل نقطة في المنطقة التي تهتم بها. يمكنك في كثير من الأحيان قياس النفاذية فقط عن طريق حفر الآبار. إن آبار الحفر باهظة الثمن ، لذا ينتهي بك الأمر إلى بضعة قياسات يمكن من خلالها استنتاج النفاذية في جميع أنحاء المنطقة.

هذا هو المصدر الثالث لعدم اليقين في النمذجة الرياضية: لا يمكنك دائمًا التأكد من قيم جميع مدخلات النموذج. يمكن أن تأثير فراشة الشهير تضخيم هذا الارتياب وراء جميع الحدود. يمكن لخطأ بسيط في قيم الإدخال أن يتدفق إلى درجة أن التنبؤ بنموذجك يخطئ الواقع بالأميال. هذه مشكلة رئيسية في التنبؤ بالطقس .

لقد حددنا الآن ثلاثة مصادر رئيسية لعدم اليقين في النمذجة الرياضية: عدم اليقين النموذجي ، عدم اليقين التقريبي وعدم اليقين في المدخلات.

اعداد وترجمة / فادي طارق 

المصدر